Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas son relaciones que existen entre los ángulos de un triángulo rectángulo, y sus lados (los dos catetos y la hipotenusa). También existen relaciones entre las mismas funciones, a éstas se les conoce como identidades trigonométricas.
Existen 6 funciones trigonométricas: seno (Sen), coseno (Cos), tangente (Tan), cotangente (Cot), secante (Sec) y cosecante (Csc). Estas son en relación a un arco (en radianes o ángulos).
En el triángulo anterior, se han marcado los tres lados y los tres ángulos, y el lado a es opuesto al ángulo A, b es opuesto al ángulo B, y c (la hipotenusa) es opuesto al ángulo C.
Entonces:
Seno (del arco) A: a Coseno A: b Tangente A : a
c c b
Cotangente A: b Secante A: c Cosecante A: c
a b a
Conociendo esto, se pueden conocer las medidas de los lados , conociendo el valor de un lado y un ángulo (suponiendo que el triángulo es rectángulo)
Para conocer la hipotenusa:
Sen A= a c= a
c Sen A
Para conocer el cateto opuesto:
Sen A= a a= c (Sen A)
c
Para conocer el cateto adyacente:
Cos A= b b=c (Cos A)
c
También se puede conocer el valor del ángulo:
Tan A= a Tan-1 (a)= A
b b
Cabe destacar que los valores del seno y del coseno no pueden ser mayores que 1 o -1, mientras que el valor de la tangente puede ir desde -1 (Tan 270) hasta 1 (Tan 90)
0 0
Esto se puede demostrar de la siguiente manera:
Debido a la imposibilidad de crear un triángulo rectángulo con un ángulo mayor a 90o, se utiliza lo que se conoce como circunferencia unitaria, la cual es una circunferencia cuyo centro esta en el origen de las coordenadas del plano cartesiano. Entonces se definirán las funciones seno y coseno como la absicsa y la ordenada. Si el valor del radio es 1, entonces ni el seno ni el coseno podrán ser mayores a este valor (pues el valor de estos no depende de las medidas de los lados, si no del arco). Entonces las funciones trigonométricas de cualquier ángulo mayor a 90o serán las mismas que la de ángulos simétricos, pero con signo dependiente del lado en el que se encuentren con relación al plano cartesiano
El siguiente dibujo puede ayudar a entender lo anterior:
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica
Ahora, la explicación a que la tangente de 90 sea infinita es:
Para el ángulo A, el valor de Tan A= bc
Ahora, si el ángulo vale 90o:
La hipotenusa se vuelve paralela a la tangente, por lo cual nunca se van a tocar, así que se considera infinita.
Los valores de senos, cosenos, tangentes, cotangentes, secantes y cosecantes se pueden graficar de la siguiente manera:
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica
Ley de Senos:
b = a = c
Sen B Sen A Sen C
Demostración:
Si ABC es un triángulo cualquiera, La, Lb y Lc las alturas respectivas de a, b y c, entoncs:
2 área (ABC)= c (Lc)
Pero Lc= Sen A
b
y se deduce que
Lc= Sen A (b) entonces 2 área de (ABC)= c (Sen A*b)
Se puede hacer el mismo procedimiento para a (La) y b (Lb)
y nos queda que
Sen A*b*c= a*Sen B*c= a*b*Sen C
y entonces
b = a = c
Sen B Sen A Sen C
queda demostrada la Ley de Senos
Identidades trigonométricas
Las relaciones que existen entre las funciones trigonométricas se conocen como identidades trigonométricas. Algunas de las básicas se fundamentan con el teorema de Pitágoras:
Cos2 A+Sen2 A = 1
Tan2 A+ Cot2 A= 1
De estas identidades se pueden derivar una gran cantidad de relaciones entre las funciones trigonometricas :)
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