¡Hola!
Bienvenido a mi blog, soy Daniel Sánchez, y este es mi blog hecho para la materia de mátematicas. Sé que es extraño que tenga que hacer un blog para matemáticas, en lugar de estar estudiando cosas más serias, pero si supieran que hemos estado haciendo avioncitos de papel y dibujos de dragon ball Z, entenderían que no es tan raro que nos pongan a hacer un blog. Y no culpo al profesor de matemáticas por la mala calidad de la educación que recibo, si no al sistema de competencias.

Pero en fin, en esta entrada de mi blog, les voy  platicar acerca de la Recta de Euler. Como sabemos, la Recta de Euler une al  ortocentro (el punto de intersección entre las 3 alturas de un triángulo), al circuncentro (el punto de intersección entre las mediatrices del triángulo, el cual es el centro del único círculo que pasa por los tres vértices del triángulo) y el centroide (el punto de intersección de las medianas, es decir de las rectas que unen el punto medio de un lado con el vértice opuesto). La parte interesante del asunto es que estos tres puntos estén sobre una misma recta.


 Para hacer más sencilla la explicación anterior, incluyo las siguientes imágenes

El punto donde se cortan las medianas es llamado centroide

El punto donde se cortan las alturas se conoce como ortocentro

El punto donde se cortan las mediatrices se conoce como circuncentro

Ahora bien, los anteriores ejemplos corresponden a triángulos distintos para que se puedan a preciar por separado cada uno de los tres puntos que son unidos por la Recta de Euler; a continuación se muestra un ejemplo en un mismo triángulo, en el cual se señala a la Recta de Euler.

La línea que va de A a C, pasando por B, es la Recta de Euler

• Demostración de la existencia de la Recta de Euler

En el anterior triángulo, sean M, N A los puntos medios de sus respectivos lados.

Sean  MA, NA, y CA las mediatrices.

Sean CY, CX y AC las alturas.

Se traza la línea que une AC

• Teorema de Tales: para entender este teorema, se deben tener presentes algunas cuestiones de proporcionalidad:

Sí    a1= a2       entonces           a1+a2

       b1   b2                               b1+b2

Demostración: 

       

     Sí    

            x=a1 = a2     entonces      a1=x*b1   entonces   a1=x*b1     entonces a1+a2=x(b1+b2)

                b1    b2                                                        a2=x*b2   

    por lo tanto        x=a1+a2

                                 b1+b2

Según lo anterior     a1+a2+...an

                              b1+b2+...bn

  

Según la primer afirmación  a1= a2           entonces    a1+b1= a2+b2

                                         b1   b2                                 b1         b2

Demostración:

                          a1 +1 = a2 +1      entonces a1 + b1 = a1+b1

                          b1         b2                          b1    b1        b1

Por último: 

                  Sí a1=a2           entonces   b2*a1=1

                      b1  b2                           a2   b1

Con esto en mente, la siguiente afirmación sobre el Teorema de Tales será más sencilla de comprender:

Sean L1, L2 y L3 rectas paralelas, L4 y L5 transversales, y L5 perpendicular a L1, entonces:

AB=AC

BD  CE

Demostración:

90o= ángulo ABC= ánguloADE    

        

       ángulo ACB= ángulo CED

Así, queda  demostrado que los triángulos ABC y ADE, son semejantes, por criterio AAA

Entonces       AB     = AB=AC=   AC  

                  AB+BD    AD  AE   AC+CE

Así que       AB+BD=1+BD= AC+CE=1+CE

                        AB         AB        AC        AC

Finalmente BD=CE  lo que implica que  AB=AC

                 AB   AC                              BD   CE

           Teorema (La Recta de Euler) En un triángulo cualquiera el circuncentro, el ortocentro y el centroide son colineales.
Dem. En el triángulo ABC sean M,N, y O los puntos medios de los lados AB, BC y CA respectivamente, sea R el ortocentro de ABC y Q el circuncentro. Sean R' y R'' la intersección de la recta que pasa por Q y P con las altura CR y AR respectivamente (ver figura abajo). Entonces el teorema de la recta de Euler quedará demostrado si vemos que R'=R''=R.

Observemos que OM y CR son paralelas ya que ambas son ortogonales al lado AB. Por el Teorema de Tales se tiene que: 
                                                                                MP = QP  
                                                                                PC     PR'
De igual forma se tiene que AR y QN son paralelas ya que son ortogonales al lado BC. Nuevamente por el Teorema de Tales se tiene que:
                                                                               NP = QP  
                                                                               PA     PR''

y por la propiedad de las medianas se tiene que 
                                                                           MP  = 1 =  NP 
                                                                           PC      2     PA   

de aquí que 
                                                                            PR'= 2QP= PR'' 


es decir, la distancia de R' a P es la misma que la distancia de R'' a P, por lo tanto ambos puntos son iguales. Ahora R' está en CR y R'' está en AR, pero el único punto en común que tienen esas dos rectas es R. De esta forma concluimos que la recta que pasa por el circuncentro y por el centroide también tiene que pasar por el ortocentro. 

• Teorema de Pitágoras: 

Así, el Teorema dice: a2+b2=c2
 Este teorema sirve para encontrar distancias, lo cual muchas a veces puede ser de mucha ayuda

VIVA EL ROCK!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!