Historia de la estadística y de la probabilidad
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
El uso de los métodos estadísticos se remonta al menos al siglo 5.º AC. El historiador Tucídides en su Historia de la Guerra del Peloponeso describe como los atenienses calculaban la altura de la muralla de Platea,
contando el número de ladrillos de una sección expuesta de la muralla
que estuviera lo suficientemente cerca como para contarlos. El conteo
era repetido varias veces por diferentes soldados. El valor más
frecuente (la moda
en términos más modernos) era tomado como el valor del número de
ladrillos más probable. Multiplicando este valor por la altura de los
ladrillos usados en la muralla les permitía a los atenienses determinar
la altura de las escaleras necesarias para trepar las murallas.
En el poema épico Indio – el Mahábharata(Libro 3: la historia de Nala) – el rey Rtupama estimaba el número de frutas y hojas(2095
frutas y 50,00,000 hojas (5 crores)) en dos grandes hojas de un árbol
Vibhitaka contándolos en un solo vástago. Este número era luego
multiplicado por el número de vástagos en las ramas. Este estimado fue
posteriormente verificado y se halló que estaba muy cerca del número
verdadero. Con el conocimiento de este método Nala pudo subsecuentemente
reconquistar su reino.
El primer escrito de estadística fue encontrado en un libro o del
siglo 9 DC titulado “Manuscrito sobre el Descifrado de Mensajes
Criptográficos”, escrito por Al-Kindi( 801 - 873 DC). En su libro, Al-Kindi da una descripción detallada sobre el uso de las estadísticas y análisis de frecuencias en el descifrado de mensajes, este fue el nacimiento tanto de la estadística como del criptoanálisis.
La Prueba del Pyx es una prueba de pureza de la moneda del Royal Mint, que ha sido llevada a cabo regularmente desde el siglo 12. La Prueba en sí misma está basada en métodos de muestreo estadístico. Después de acuñar una serie de monedas – originalmente de 10 libras de plata- una moneda singular era colocada en el Pyx- una caja en la Abadía de Westminster. Después de un tiempo –ahora una vez al año- las monedas son retiradas y pesadas. Luego, una muestra de monedas retiradas de la caja es probada por pureza
La Nuova Crónica, una historia de Florencia del siglo 14 escrita por el banquero florentino y oficial Giovanni Villani, incluye mucha información estadística.sobre la población, ordenanzas, comercio, educación y edificaciones religiosas, y ha sido descrito como la primera introducción de la estadística como elemento positivo en la historia, aunque ni el término ni el concepto de la estadística como campo específico existía aún. Esto se demostró que era incorrecto después del hallazgo del libro de Al-Kindi sobre análisis de frecuencias.
Aunque era un concepto conocido por los griegos, la media aritmética no fue generalizada a más de dos valores hasta el siglo 16. La invención del sistema decimal por Simon Stevin en 1585 parece haber facilitado estos cálculos. Este método fue adoptado por primera vez en astronomía por Tycho Brahe, el que intentaba reducir errores en sus estimados de las localizaciones de varios cuerpos celestiales.
La idea de la mediana se originó en el libro de navegación de Edward Wright (Certaine Errors in Navigation) en 1599 en una sección concerniente a la determinación de una localización con un compás. Wright sintió que este valor era el que más probablemente estuviera correcto en una serie de observaciones.
John Graunt en su libro Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality, estimó la población de Londres en 1662 a través de registros parroquiales. El sabía que había cerca de 13,000 funerales al año en Londres y que de cada once familias tres personas morían por año. El estimo de los registros parroquiales que el tamaño promedio de las familias era 8 y calculó que la población de Londres era de cerca de 384,000. Laplace en 1802 estimó la población de Francia con un método similar.
Los métodos matemáticos de la estadística surgieron de la teoría de probabilidades, la cual tiene sus raíces en la correspondencia entre Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) proveyó el primer tratamiento científico sobre el tema que se conozca hasta la fecha. El libro Ars Conjectandi de Jakob Bernoulli (póstumo 1713) y La Doctrina de las Probabilidades (1718) de Abraham de Moivre trataron el tema como una rama de las matemáticas. En su libro, Bernoulli introdujo la idea de representar certeza completa como el número 1 y la probabilidad como un número entre cero y uno.
Galileo luchó contra el problema de errores en las observaciones y había formulado ambiguamente el principio de que los valores más probables de cantidades desconocidas serían aquellos que hicieran los errores en las ecuaciones razonablemente pequeños. El estudio formal en teoría de errores puede ser originado en el libro de Roger Cotes (Opera Miscellanea, póstumo 1750). Tobias Mayer, en su estudio de los movimientos de la Luna (Kosmographische Nachrichten, Nuremberg, 1750), inventó el primer método formal para estimar cantidades desconocidas generalizando el promedio de las observaciones bajo circunstancias idénticas al promedio de los grupos de ecuaciones similares.
Un primer ejemplo de lo que posteriormente fue conocido como la curva normal fue estudiado por Abraham de Moivre, quien trazó esta curva en Noviembre 12, 1733. De Moivre estaba estudiando el número de caras que ocurrían cuando una moneda “justa” era lanzada. En sus memorias – Un intento por mostrar la emergente ventaja de tomar la media de un número de observaciones en astronomía práctica- preparada por Thomas Simpson en 1755 (impreso en 1756) aplicaba por primera vez la teoría a la discusión de errores en observaciones. La reimpresión (1757) de sus memorias sostiene el axioma que errores positivos y negativos son igualmente probables, y que hay ciertos valores límites dentro de los cuales todos los errores se encuentran; los errores continuos son discutidos y se provee una curva de probabilidad. Simpson discutió varias posibles distribuciones de error. Primero consideró la distribución uniforme y después la distribución triangular discreta simétrica, seguida por la distribución triangular contínua simétrica.
Ruder Boškovic en 1755 se basó en su trabajo sobre la forma de la Tierra propuesto en el libro De Litteraria expeditione per pontificiam ditionem ad dimetiendos duos meridiani gradus a PP. Maire et Boscovicli para proponer que el veradero valor de una serie de observaciones sería aquel que minimizara la suma de los errores absolutos. En terminología moderna este valor es la media.
Johann Heinrich Lamber en su libro de 1765 Anlage zur Architectonic propuso el semicírculo como una distribución de errores:
Laplace en 1774 notó que la frecuencia de un error podía ser expresada como una función exponencial de su magnitud una vez descartado el signo. Esta distribución es ahora conocida como distribución de Laplace.
Laplace en 1778 publicó su segunda ley de errores en la cual notó que la frecuencia de un error era proporcional a la función exponencial del cuadrado de su magnitud. Esto fue descubierto subsecuentemente por Gauss (posiblemente en 1797) y es ahora mejor conocida como distribución normal, la cual es de importancia central en la estadística. Esta distribución fue referida como normal por primera vez por Pierce en 1873, quien estaba estudiando las medidas de error cuando un objeto era dejado caer sobre una superficie de madera. Escogió el término normal debido a su ocurrencia frecuente en variables que ocurrían en la naturaleza.
Lagrange también sugirió en 1781 otras dos distribuciones para errores – una distribución coseno: -
Laplace obtuvo una formula (1781) para la ley de facilidad de un error (un término acuñado por Joseph Louis Lagrange, 1774 ), pero esta conllevaba a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introdujo el principio del máximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.
Laplace, en una investigación del movimiento de Saturno y Júpiter en 1787, generalizó el método de Mayer usando diferentes combinaciones lineales de un grupo de ecuaciones.
En 1802 Laplace estimó la población en Francia a 28,328,612. El calculó este número usando la cantidad de nacimientos del año anterior y el dato del censo de tres comunidades. Los datos de los censos de estas comunidades mostraron que tenían 2,037,615 personas y que el número de nacimientos era de 71,866. Asumiendo que estas muestras eran representativas de Francia, Laplace produjo un estimado para la población entera.
El método de los mínimos cuadrados, el cual era usado para minimizar errores en la medición de datos, fue publicado independientemente por Adrien-Marie Legendre (1805), Robert Adrain (1808), y Carl Friedrich Gauss(1809).Gauss había usado el método en s famosa predicción en 1801 de la localización del planeta enano Ceres. Las observaciones en las que Gauss basó sus cálculos fueron hechas por el monje italiano Piazzi. Posteriormente se dieron demostraciones por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Bessel (1838), Donkin (1844, 1856), Herschel (1850), Crofton (1870), y Thiele (1880, 1889).
El término error probable (der wahrscheinliche Fehler) – la desviación media – fue introducido en 1815 por el astrónomo alemán Frederik Wilhelm Bessel.
Antoine Augustin Cournot en 1843 fue el primero en usar el término mediana (valeur médiane) para el valor que divide la distribución de probabilidad en dos mitades iguales.
Otros contribuyentes a la teoría de errores fueron Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872), y Giovanni Schiaparelli(1875). La formula de Peters (1856) para
, el "error probable" de una sola observación fue ampliamente usada e inspiró tempranamente la estadística robusta (resistente a valores atípicos).
En el siglo 19 los autores de la teoría estadística incluían a included Laplace, S. Lacroix (1816), Littrow (1833), Dedekind (1860), Helmert (1872), Laurant (1873), Liagre, Didion, De Morgan, Boole, Edgeworth, and K. Pearson. y K. Pearson.
Gustav Theodor Fechner usó la mediana (Centralwerth) en fenómenos sociológicos y sociológicos. Anteriormente había sido usado solamente en astronomía y campos relacionados.
Las primeras pruebas de la distribución normal fueron inventadas por el estadístico alemán Wilhelm Lexis en 1870. El único conjunto de datos disponible para él, en que le era posible mostrar que estaba normalmente distribuido, era la frecuencia de nacimientos.
Francis Galton estudió una variedad de características humanas – altura, edad, peso, tamaño d las pestañas, entre otras- y encontró que michos de estos factores podían ser ajustados a una distribución normal.
Francis Galton en 1907 entregó un artículo a la revista Nature acerca de la utilidad de la mediana. El examinó la precisión de 787 intentos de adivinar el peso de un buey en una feria de campo. El peso real era de 1208: la mediana de todas las conjeturas fue 1198 libras. Las conjeturas fuern marcadamente no normales en su distribución.
El noruego Anders Nicolai Kiær introdujo el concepto de muestreo estratificado en 1895. Arthur Lyon Bowley introdujo el muestreo aleatorio en 1906. [20] Jerzy Neyman en 1934 hizo evidente que el muestreo aleatorio estratificado era en general un mejor método de estimación que el muestreo intencional (por cuota).
El nivel de significación del 5% parece ser introducido por Fisher en 1925. Fisher expresó que las desviaciones que excedían dos veces la desviación estándar eran consideradas significativas. Previamente a esto las desviaciones que excedían tres veces el error probable eran consideradas significativas. Para una distribución simétrica el error probable la mitad del rango intercuantil. El cuantil superior de la distribución normal estándar está entre 0.66 y 0.67, su error probable es aproximadamente 2/3 de la desviación estándar. Parece que el criterio de Fisher del 5% tenía sus raíces en la práctica previa.
En 1929 Wilso y Hilferty re-examinaron los datos de Pierce de 1873 y descubrieron que en realidad no estaba realmente normalmente distribuida.
La Prueba del Pyx es una prueba de pureza de la moneda del Royal Mint, que ha sido llevada a cabo regularmente desde el siglo 12. La Prueba en sí misma está basada en métodos de muestreo estadístico. Después de acuñar una serie de monedas – originalmente de 10 libras de plata- una moneda singular era colocada en el Pyx- una caja en la Abadía de Westminster. Después de un tiempo –ahora una vez al año- las monedas son retiradas y pesadas. Luego, una muestra de monedas retiradas de la caja es probada por pureza
La Nuova Crónica, una historia de Florencia del siglo 14 escrita por el banquero florentino y oficial Giovanni Villani, incluye mucha información estadística.sobre la población, ordenanzas, comercio, educación y edificaciones religiosas, y ha sido descrito como la primera introducción de la estadística como elemento positivo en la historia, aunque ni el término ni el concepto de la estadística como campo específico existía aún. Esto se demostró que era incorrecto después del hallazgo del libro de Al-Kindi sobre análisis de frecuencias.
Aunque era un concepto conocido por los griegos, la media aritmética no fue generalizada a más de dos valores hasta el siglo 16. La invención del sistema decimal por Simon Stevin en 1585 parece haber facilitado estos cálculos. Este método fue adoptado por primera vez en astronomía por Tycho Brahe, el que intentaba reducir errores en sus estimados de las localizaciones de varios cuerpos celestiales.
La idea de la mediana se originó en el libro de navegación de Edward Wright (Certaine Errors in Navigation) en 1599 en una sección concerniente a la determinación de una localización con un compás. Wright sintió que este valor era el que más probablemente estuviera correcto en una serie de observaciones.
John Graunt en su libro Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality, estimó la población de Londres en 1662 a través de registros parroquiales. El sabía que había cerca de 13,000 funerales al año en Londres y que de cada once familias tres personas morían por año. El estimo de los registros parroquiales que el tamaño promedio de las familias era 8 y calculó que la población de Londres era de cerca de 384,000. Laplace en 1802 estimó la población de Francia con un método similar.
Los métodos matemáticos de la estadística surgieron de la teoría de probabilidades, la cual tiene sus raíces en la correspondencia entre Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) proveyó el primer tratamiento científico sobre el tema que se conozca hasta la fecha. El libro Ars Conjectandi de Jakob Bernoulli (póstumo 1713) y La Doctrina de las Probabilidades (1718) de Abraham de Moivre trataron el tema como una rama de las matemáticas. En su libro, Bernoulli introdujo la idea de representar certeza completa como el número 1 y la probabilidad como un número entre cero y uno.
Galileo luchó contra el problema de errores en las observaciones y había formulado ambiguamente el principio de que los valores más probables de cantidades desconocidas serían aquellos que hicieran los errores en las ecuaciones razonablemente pequeños. El estudio formal en teoría de errores puede ser originado en el libro de Roger Cotes (Opera Miscellanea, póstumo 1750). Tobias Mayer, en su estudio de los movimientos de la Luna (Kosmographische Nachrichten, Nuremberg, 1750), inventó el primer método formal para estimar cantidades desconocidas generalizando el promedio de las observaciones bajo circunstancias idénticas al promedio de los grupos de ecuaciones similares.
Un primer ejemplo de lo que posteriormente fue conocido como la curva normal fue estudiado por Abraham de Moivre, quien trazó esta curva en Noviembre 12, 1733. De Moivre estaba estudiando el número de caras que ocurrían cuando una moneda “justa” era lanzada. En sus memorias – Un intento por mostrar la emergente ventaja de tomar la media de un número de observaciones en astronomía práctica- preparada por Thomas Simpson en 1755 (impreso en 1756) aplicaba por primera vez la teoría a la discusión de errores en observaciones. La reimpresión (1757) de sus memorias sostiene el axioma que errores positivos y negativos son igualmente probables, y que hay ciertos valores límites dentro de los cuales todos los errores se encuentran; los errores continuos son discutidos y se provee una curva de probabilidad. Simpson discutió varias posibles distribuciones de error. Primero consideró la distribución uniforme y después la distribución triangular discreta simétrica, seguida por la distribución triangular contínua simétrica.
Ruder Boškovic en 1755 se basó en su trabajo sobre la forma de la Tierra propuesto en el libro De Litteraria expeditione per pontificiam ditionem ad dimetiendos duos meridiani gradus a PP. Maire et Boscovicli para proponer que el veradero valor de una serie de observaciones sería aquel que minimizara la suma de los errores absolutos. En terminología moderna este valor es la media.
Johann Heinrich Lamber en su libro de 1765 Anlage zur Architectonic propuso el semicírculo como una distribución de errores:
Laplace en 1774 notó que la frecuencia de un error podía ser expresada como una función exponencial de su magnitud una vez descartado el signo. Esta distribución es ahora conocida como distribución de Laplace.
- Lagrange propuso una distribución parabólica de errores en 1776:
Laplace en 1778 publicó su segunda ley de errores en la cual notó que la frecuencia de un error era proporcional a la función exponencial del cuadrado de su magnitud. Esto fue descubierto subsecuentemente por Gauss (posiblemente en 1797) y es ahora mejor conocida como distribución normal, la cual es de importancia central en la estadística. Esta distribución fue referida como normal por primera vez por Pierce en 1873, quien estaba estudiando las medidas de error cuando un objeto era dejado caer sobre una superficie de madera. Escogió el término normal debido a su ocurrencia frecuente en variables que ocurrían en la naturaleza.
Lagrange también sugirió en 1781 otras dos distribuciones para errores – una distribución coseno: -
Laplace obtuvo una formula (1781) para la ley de facilidad de un error (un término acuñado por Joseph Louis Lagrange, 1774 ), pero esta conllevaba a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introdujo el principio del máximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.
Laplace, en una investigación del movimiento de Saturno y Júpiter en 1787, generalizó el método de Mayer usando diferentes combinaciones lineales de un grupo de ecuaciones.
En 1802 Laplace estimó la población en Francia a 28,328,612. El calculó este número usando la cantidad de nacimientos del año anterior y el dato del censo de tres comunidades. Los datos de los censos de estas comunidades mostraron que tenían 2,037,615 personas y que el número de nacimientos era de 71,866. Asumiendo que estas muestras eran representativas de Francia, Laplace produjo un estimado para la población entera.
El método de los mínimos cuadrados, el cual era usado para minimizar errores en la medición de datos, fue publicado independientemente por Adrien-Marie Legendre (1805), Robert Adrain (1808), y Carl Friedrich Gauss(1809).Gauss había usado el método en s famosa predicción en 1801 de la localización del planeta enano Ceres. Las observaciones en las que Gauss basó sus cálculos fueron hechas por el monje italiano Piazzi. Posteriormente se dieron demostraciones por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Bessel (1838), Donkin (1844, 1856), Herschel (1850), Crofton (1870), y Thiele (1880, 1889).
El término error probable (der wahrscheinliche Fehler) – la desviación media – fue introducido en 1815 por el astrónomo alemán Frederik Wilhelm Bessel.
Antoine Augustin Cournot en 1843 fue el primero en usar el término mediana (valeur médiane) para el valor que divide la distribución de probabilidad en dos mitades iguales.
Otros contribuyentes a la teoría de errores fueron Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872), y Giovanni Schiaparelli(1875). La formula de Peters (1856) para
, el "error probable" de una sola observación fue ampliamente usada e inspiró tempranamente la estadística robusta (resistente a valores atípicos).En el siglo 19 los autores de la teoría estadística incluían a included Laplace, S. Lacroix (1816), Littrow (1833), Dedekind (1860), Helmert (1872), Laurant (1873), Liagre, Didion, De Morgan, Boole, Edgeworth, and K. Pearson. y K. Pearson.
Gustav Theodor Fechner usó la mediana (Centralwerth) en fenómenos sociológicos y sociológicos. Anteriormente había sido usado solamente en astronomía y campos relacionados.
Las primeras pruebas de la distribución normal fueron inventadas por el estadístico alemán Wilhelm Lexis en 1870. El único conjunto de datos disponible para él, en que le era posible mostrar que estaba normalmente distribuido, era la frecuencia de nacimientos.
Francis Galton estudió una variedad de características humanas – altura, edad, peso, tamaño d las pestañas, entre otras- y encontró que michos de estos factores podían ser ajustados a una distribución normal.
Francis Galton en 1907 entregó un artículo a la revista Nature acerca de la utilidad de la mediana. El examinó la precisión de 787 intentos de adivinar el peso de un buey en una feria de campo. El peso real era de 1208: la mediana de todas las conjeturas fue 1198 libras. Las conjeturas fuern marcadamente no normales en su distribución.
El noruego Anders Nicolai Kiær introdujo el concepto de muestreo estratificado en 1895. Arthur Lyon Bowley introdujo el muestreo aleatorio en 1906. [20] Jerzy Neyman en 1934 hizo evidente que el muestreo aleatorio estratificado era en general un mejor método de estimación que el muestreo intencional (por cuota).
El nivel de significación del 5% parece ser introducido por Fisher en 1925. Fisher expresó que las desviaciones que excedían dos veces la desviación estándar eran consideradas significativas. Previamente a esto las desviaciones que excedían tres veces el error probable eran consideradas significativas. Para una distribución simétrica el error probable la mitad del rango intercuantil. El cuantil superior de la distribución normal estándar está entre 0.66 y 0.67, su error probable es aproximadamente 2/3 de la desviación estándar. Parece que el criterio de Fisher del 5% tenía sus raíces en la práctica previa.
En 1929 Wilso y Hilferty re-examinaron los datos de Pierce de 1873 y descubrieron que en realidad no estaba realmente normalmente distribuida.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente
resumir la información con un solo número. Este número que, para tal
fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se
denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. Entre éstas se encuentran la media aritmética (también conocida como promedio o simplemente media), la mediana y la moda.
, 
, 
, 
, 
=>
El valor central es el tercero:
Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (
, 
) y otros dos por encima de él (
, 
).
b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando
es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones 
y 
. Es decir:
.
Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son:, , , , , 
=> Hay dos valores que están por debajo del 
y otros dos que quedan por encima del siguiente dato 
. Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: 
.
Es la probabilidad de que ocurra algún evento predeterminado, como la probabilidad de obtener una pelota amarilla en una caja con pelotas de distintos colores. Para obtener el resultado, se debe dividir la cantidad de formas en que un suceso específico va a suceder, entre la cantidad total de sucesos.
VIVA EL ROCK!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Media aritmética
En un conjunto finito de datos cuantitativos, la media aritmética (también conocida como promedio o simplemente media) es el valor característico de ese conjunto. Se obtiene al sumar todos los datos y dividirlos entre el número de datos.Se representa con una x con una barra sobre ésta.
Mediana
La mediana representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.
Cómo calcularla:
Cuándo n es el número de datos:
a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición
una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: 
.
Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son:.
, , , , => El valor central es el tercero:
Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (
, ) y otros dos por encima de él (, ).b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando
es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones y . Es decir:.Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son:
, , , , , => Hay dos valores que están por debajo del y otros dos que quedan por encima del siguiente dato . Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: .
Moda
Es el valor con mayor frecuencia en un conjunto de datos.
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión,,también llamadas medidas de
variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando
por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable
están muy alejadas de la media. Cuánto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.
Rango medio
El rango medio de un conjunto de valores numéricos
es la media del menor y mayor valor, o la mitad del camino entre el dato de menor valor y el dato de mayor valor.
Varianza
La varianza mide la dispersión de los valores con respecto al valor central.
Desviación estándar
Se le conoce como desviación estándar a la raíz cuadrada (positiva) de la varianza
Principios de la probabilidad simple y conjunta
Probabilidad simple
Probabilidad conjunta
Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos.
VIVA EL ROCK!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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